Nierówność różniczkowa
Nierówność wiążąca argument, nieznaną funkcję i jej pochodną[1].
Na przykład
gdzie: jest argumentem, – daną funkcją dwóch zmiennych, a niewiadomą funkcją zmiennej [2].
Podstawowym problemem teorii nierówności różniczkowych jest opisanie zbioru ich rozwiązań w zależności od danych wartości początkowych lub wartości granicznych. Problematyka ta jest związana z teorią równań różniczkowych zwyczajnych, teorią równań różniczkowych cząstkowych, teorią równań całkowych i teorią równań różnicowych[3]. Dużą grupę nierówności różniczkowych stanowią nierówności powstałe przez zamianę w znanych i zbadanych równaniach znaku równości znakiem nierówności, co jest równoważne dodaniu do jednej ze stron funkcji dodatniej, bądź ujemnej[2].
Ważnym problemem jest porównanie rozwiązań nierówności różniczkowej z rozwiązaniem odpowiedniego równania różniczkowego. Na przykład dla dowolnego rozwiązania nierówności różniczkowej
oraz rozwiązania równania różniczkowego
o tych samych warunkach początkowych w dowolnym przedziale istnienia obu rozwiązań zachodzą nierówności
- dla
- dla [2].
Przykłady
[edytuj | edytuj kod]- Jeżeli jest całką równania różniczkowego (gdzie jest funkcją ciągłą w przedziale ) spełniającą warunek początkowy a funkcja różniczkowalna spełnia ten sam warunek początkowy i nierówność różniczkową
- dla
to dla każdego
- [4].
- Twierdzenie Czapłygina-Perrona. Niech funkcje i będą ciągłe w prostokącie domkniętym
- gdzie
i spełniają nierówność
Jeśli wtedy są odpowiednio całkami równań różniczkowych
przechodzącymi przez punkt określonymi w przedziale i leżącymi między i oraz jeśli spełnia w prostokącie warunek Lipschitza względem y, to
- dla każdego zachodzi nierówność
Ponadto jeśli w pewnym punkcie jest to
- dla każdego zachodzi [5].
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ И.М. Виноградов (redaktor): Математическая Знциклопедия. T. 2 (Д-Коо). Москва: Советская энциклопедия, 1979, s. 279. (ros.).
- ↑ a b c Математическая энциклопедия, op. cit., s. 279.
- ↑ R. Rabczuk: Elementy nierówności różniczkowych. Warszawa: PWN, 1976, s. 274–276.
- ↑ Rabczuk, op. cit., s. 7.
- ↑ Rabczuk, op. cit., s. 11–12.
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- Rościsław Rabczuk: Elementy nierówności różniczkowych. Warszawa: PWN, 1976. (pol.).
- Jacek Szarski: Differential Inequalities. T. 43. Warszawa: Instytut Matematyczny PAN, 1965, seria: Monografie Matematyczne. (ang.).